陈春雷　1998 3

Thinking & Practice about CAI of Math in secondary school             
Beijing 13th secondary school (100009; liuyin st. No. 27)            
chen chun lei

　The key of CAI is software, the soul is diathesis of teachers.               
  1. Guide of CAI is the dialectical materialism theory of knowledge.          
  2. The first step of CAI is helping the classroom teaching.                  
  3. What are the handicap point of Math in secondary school ?                 
  4. Examples of Math's CAI.                                                   
  5. Net and Internet.                                                         
  6. The more difficulty work is training the teachers.                        
                                                                               
    开展计算机辅助中学数学教学的研究，在具备一定的硬件设备之后，高质量的辅助教学软件是关键，提高教师的现代化意识和素质是灵魂。                             
    什么是高质量的教学软件？怎么开发高质量的教学软件？怎么使教师摆脱落后的教学手段和教学方法的束缚，接受现代教育技术？这不仅是个计算机软件技术问题。       
    １  关于计算机辅助教学软件开发的理论探讨很多，美国的研究有三个典型阶段：行为主义、认知主义和建构主义。它们各有可取之处。中国的研究应该以辩证唯物主义的认识论为指导，要强调实事求是，从中国的国情出发，从不同年龄学生的生理和“心理”发展阶段特点出发，从中学数学教师的现状出发，从中学数学教材和教学目标要求出发，从有利于推动数学教学改革、减轻学生负担、提高教学质量出发。               
    ２  关于“辅助教”还是“辅助学”，也有不少讨论。中国古代教育家孔子就提出过“因材施教”的思想，但局限于当时和以后相当长时间社会生产力发展的实际情况，不可能大范围施行。近年的教学研究中，再次提出“个别化”教学，ＣＡＩ又为它的施行提供较好的物质基础。但是，有高智能的教师主持的班级授课体制因为有“工业化”、低成本、高效益的优势，在相当长时期里，还不会被取消；另外，先要“辅助教”，在教师理解接受后才可能指导学生使用计算机来“辅助学”，基础教育阶段尤其是这样。所以研究的第一步是让计算机成为教师进行课堂教学（教的过程和学的过程的统一体）的辅助手段。                                                                   
    ３  中国的基础数学教育有重视概念教学的好传统，数学教师对计算机辅助数学教学会提出较高的要求，一些“书本搬家”式的或者“习题集”式的软件不能为教师所接受。所以，教学软件开发必须与教研改革研究同步，需要研究中学数学的主要难点是什么？“传统”数学教学中缺少什么（或者说需要补充什么）？          
    由小学进入中学，数学课的难点主要发生在由常量数学到变量数学的飞跃过渡，发生在由静态图形研究到动态图形（包括图象）研究的过渡，由平面图形研究到空间图形研究的过渡。形成难点的原因除了知识本身的深度之外，“传统”教学受到落后教学手段的制约，还受到本世纪五十年代以前人们对脑科学研究的低水平和在此基础上关于青少年“心理”研究的低水平的影响，在“思维”训练问题上存在片面的理解，忽视发展右脑，忽视形象思维，忽视“数形结合”，在教学方法上形成“一张嘴、一支笔、一本书”的低效率模式，阻碍教学法研究的发展。
    突破难点，改革教学，需要提供配合各有关课题的动态形象信息来辅助教学，激发学生的学习兴趣，增强学好数学的信心，帮助学生顺利完成这些过渡，培养学生的全面的数学思维（全面理解、掌握和应用三种数学语言──图形图象语言、文字语言和专用抽象符号语言及其相互关系）的能力。所有这些要求，正是计算机信息处理和图形显示技术的优势。                                                                 
    ４  根据上面的思考，到1997年11月，我们已经完成的数学教学软件有：   
   MATH_1  幂、指、对函数和反函数                                        
   MATH_2  三角函数（Sin,Cos,tg,ctg）                                    
   MATH_3  直线方程（解析几何）                                          
   MATH_5  圆锥曲线                                                      
   MATH_6  参数方程                                                      
   MATH_7  极坐标                                                        
   CMATH_1 轨迹（以下初中）                                              
   CMATH_2 正比例、反比例、一次、二次函数及其平移                        
   CMATH_3 圆的垂径定理                                                  
    正在开发中的有立体几何。                                             
    就部分软件的部分内容和具体思考与实践介绍如下：                       
    ⑴  CMATH_1  轨迹                                                    
    轨迹在初中数学教学中是一个重要课题，它是中学数学一个新阶段的开始，是中学数学知识里前后的衔接点，为以后中学数学里进一步学习函数和函数图象、从“由物到形”逐步进入“以数论形”打基础。                                             
    新阶段的开始给教学带来了一些困难。在轨迹这个课题之前的初中几何教学，教师利用实物教具或者在黑板上画图或者用投影片，基本上能够解决图形视觉信息跟教学语言信息的同步刺激。传统教学里缺少适合的轨迹教学需要的动态形象信息手段，使得教师往往要用更多的语言来引导学生想象出动态形象信息。这种想象能力是中学阶段通过多学科教学逐渐培养形成的能力，不是大多数初中学生已经具备的能力。如果过高估计和要求学生，造成教师教的累，学生的大脑负担重。                               
    近年有些教师采用投影片辅助课堂教学，优点是替代了教师画图，一定程度上推动了教学改革。投影片存在的不足是，为了表现点按照一定规律的运动，需要用复合推拉的投影片。这种机械的推拉，在课堂上使用是比较费力而且往往出现故障，经常是复合得不够好，使得教师反复的操作占用课堂时间多，影响了课堂效率。我注意到有一次是获奖优秀投影片制作者自己表演介绍，都出现类似问题，效果不理想。               
    “传统”教学方法和投影片在轨迹教学里的不足，首先是不能提供丰富的动态形象信息来帮助学生认识“点的轨迹就是点按照某个条件运动所形成的图形”，计算机的动态图形优势正好能补充原有教学信息手段的不足。                                 
    软件的主目录包括轨迹的概念和六种轨迹以及总结和练习，教师可根据自己的教学安排选择及组合。                                                             
    ①  轨迹的基本概念。                                                   
    《轨迹》软件的第一个子目录包括三个子课题（物体自由下落、斜抛、人造地球卫星），供教师选择。                                                           
    每个小课题开始都是先不给出轨迹，引导学生注意观察一个运动物体不同时刻出现在不同位置，让学生思考：如果将这些位置都记录下来会得到什么？隐含着的意思是，许多情况下人们不能像以前学习几何图形那样在空间直接看到整个轨迹，轨迹是人从实际过程中想像出来的讨论方法，但是轨迹又是客观存在的。然后提出可以用计算机给出模拟闪光照像记录，最后再在显示屏上给出连续的照像记录。数学讨论“把物体抽象理解为一个点”，显示屏上通过动态过程给出轨迹。总结“什么是轨迹”的初步知识：点的轨迹就是是符合某个条件的所有点的集合。                                     
    计算机辅助教学不是“结论型”教学，不是反复用提问让学生记住轨迹的定义，而是用生动的动态信息突出了新概念的形成过程。我们的教学试验实践证明，轨迹这个课题对所有初中学生都不是难点。                                                 
    软件选用人造地球卫星这个例子，首先考虑的是人造地球卫星是学生已经知道的现代高科技结晶之一，容易引起学生的兴趣，调动学习的积极性。其次，为了引导学生分清楚“轨道”和“轨迹”。空间并没有这条固定的“轨道”，实际上是轨迹，加深轨迹概念的理解。第三，由于软件提供了严格的科学模拟，学生会很有兴趣地观察到卫星运行速度有规律的变化，让学生对物体在复杂约束条件下的运动有个初步的印象，避免学生把轨迹概念局限在初中讨论过的几种简单轨迹问题上，体现教学的发展性，也能引起学生进一步思考、探索卫星运动的轨迹为什么这么复杂的悬念，为今后的学习留下伏笔。
    ②  六种轨迹的教学。                                                     
    重点是第一种：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹。除了跟引入轨迹概念的处理一样，先给出不留轨迹记录的动态引导学生讨论并自己得出轨迹图形形状的结论，再给出轨迹图形，主要内容是用动态来配合讨论轨迹的严密性和完整性。       
    软件除了采用先不留轨迹的处理方法来突出轨迹图形与以前讨论的实物图形的区别，还采用动态的辅助线来表现动点的条件，形象信息的配合使以往学生不容易理解和记忆的问题，用较短的教学时间得到解决。                                           
⑵  MATH_1  幂、指、对数函数和反函数                                   
    主要是提供一个可控的动态的函数图象演示窗口来辅助教师进行有关函数（变量数 
学）及其图像基本特点的教学。例如幂函数，根据教学需要，除了分别对 a>0和 a<0的讨论、小结和比较之外，用户健入任意 a值（可以是分数，但分子小于20，分母只取一位）作讨论和比较，可配合讨论分数指数幂的分母分别为奇数或偶数，分母为奇数而分子分别为奇数或偶数等条件下函数的定义域。反函数是通过两例，用动态辅助线突出互为反函数的两个图象里对应点的基本特点，在一幅动态画面上包括了反函数的知识要点，充分发挥形象视觉在认识过程中的优势，提高了教学效率。                         
    ⑶  MATH_2  三角函数（Sin,Cos,tg,ctg）                                   
    重点是用动态的单位圆和动态的图象同步演示来帮助学生理解基本三角函数概念及其特点。                                                                     
    ⑷  在MATH_5《圆锥曲线》、MATH_6《参数方程》和MATH_7《极坐标》里对椭圆的讨论。                                                                        
    《圆锥曲线》用相应的动态辅助线配合动点的移动得到椭圆，体现椭圆的基本定义和图像的特点。《参数方程》里，分别用动态表现其参数方程的两个图像（正弦与余弦），然后同步表现消去参变量的图象，有利于学生加深对参数方程的理解。《极坐标》里先建立三种圆锥曲线的统一极坐标方程，由用户键入不同参数，用动态模式给出椭圆、抛物线或双曲线。软件根据不同数学思考的需要给出动态辅助线，为教师的教学提供很大方便，使学生易于理解。三个软件里还有其它课题，例如用步进方式演示完整的双曲线，突破教学中的难点。教学试验的实践表明，有些课题可节省一半的教学时间，如“三种圆锥曲线的统一极坐标方程”的全部教学和适当的练习在一个课时内全部完成。        
    以上例子都说明一个共同的问题：在缺少先进教学信息手段的历史条件下，原有的教学模式（往往是通过增加课时，加重学生负担来“保证”质量）存在的困难，如果发挥现代信息手段的优势，能产生根本性的变化，学生可以在中学阶段形成更完整的数学思想，不加重负担而学到更多的数学知识。学生接触用计算机处理数学问题，更有深刻而长远的意义，这是传统教学不可能培养的能力。                                  
    ⒌  Internet目前基本上还没有进入中学课堂，但是在可预见的未来，网络将对教学和学生的学习产生巨大的影响。我们准备开始研究用Java编写少量 CAI课例，明年可能开始通过网络向用户提供服务。                                                
    ⒍  帮助教师理解ＣＡＩ并投入教学改革研究是比软件开发更困难的工作。八十年代，许多数学教师认为：在数学课上用计算机会降低数学本身的特色。这是很正常的现象。因为现有数学教师在以往所接受的教学论训练里，从来没有讲过ＣＡＩ，有些教师也从来没有看到过在数学教学上如何使用ＣＡＩ。十几年来，我们采取多方面的工作，逐步使更多的教师摆脱“传统”的束缚，转变教学观念，理解并接收ＣＡＩ。          
    ⑴  典型示范。实践是检验真理的唯一标准。我们组织部分具有较强改革意识的教师，先行一步，通过事实让有疑问的教师解决疑虑，逐步扩大ＣＡＩ研究队伍。在一些原来比较封闭的地区，我自己也讲示范课。                                        
    ⑵  向教师介绍ＣＡＩ的理论与实践。我们曾与北京市教研部数学教研室合作，先后两次召开北京市计算机辅助数学教学研讨会，介绍ＣＡＩ理论，介绍辅助数学教学软件，由我校数学教师做公开课。先后两次应邀给北京师范大学数学系四年级学生做教学法专题报告，应邀给山东济宁师专的全体教师做ＣＡＩ研究的学术报告，应天津市教研室、海口市教育局等单位邀请分别为该市教研员和教学骨干做专题报告。应北京市及外省市一些兄弟学校的邀请，分别做专题报告。通过这些学术活动，使更多的教师开始了解并投入ＣＡＩ研究。                                                          
    ⑶  帮助教师备课，使教师更快掌握新的教学方法。计算机辅助中学数学教学，不是在原来的传统教学处理上简单地增添计算机教学软件，而是引入先进的教学信息手段后推动教学改革。一些教师开始用得不好是正常的，但会增加对ＣＡＩ的疑虑。对本校和兄弟校的教师，都根据他们的要求在备课和教学研究上给予可能的帮助。例如：一位有三十年经验的教研组长第一次使用计算机辅助教学，通过多次备课，不仅熟练掌握软件操作，而且在运用软件和已有数学教学经验的结合处理上比较恰当，成为获奖的优秀课，从原来对ＣＡＩ存在一些疑虑，变为在总结里说：“电子计算机是实现数形结合思想的最好手段”；一位青年教师第一次试讲很不成功以至信心不足，通过十几天的具体帮助后，在全市研讨会上公开课，教学效果得到许多老教师的肯定和称赞。这种工作很细、很费时间，但作为ＣＡＩ的起步阶段，是十分重要的。                          
    计算机辅助数学教学还有很多课题有待研究开发，已经开发的课题也有待在教学应用实践的基础上进一步改进和完善。欢迎各位专家提出批评意见。